Hva er fraktaler: skjønnheten i matematikk og uendelighet

2024 Forfatter: Seth Attwood | [email protected]. Sist endret: 2023-12-16 16:13

Fraktaler har vært kjent i et århundre, har blitt godt studert og har mange bruksområder i livet. Imidlertid er dette fenomenet basert på en veldig enkel idé: en mengde former, uendelige i skjønnhet og variasjon, kan oppnås fra relativt enkle strukturer ved å bruke bare to operasjoner - kopiering og skalering.

Hva har et tre, en strand, en sky eller blodårer i hånden vår til felles? Ved første øyekast kan det virke som om alle disse gjenstandene ikke har noe til felles. Imidlertid er det faktisk én strukturegenskap som er iboende i alle de listede objektene: de er selv-lignende. Fra grenen, så vel som fra stammen på treet, er det mindre grener, fra dem - enda mindre, etc., det vil si at grenen er som hele treet.

Sirkulasjonssystemet er arrangert på en lignende måte: arterioler avgår fra arteriene, og fra dem - de minste kapillærene gjennom hvilke oksygen kommer inn i organer og vev. La oss se på satellittbilder av havkysten: vi vil se bukter og halvøyer; la oss ta en titt på det, men fra et fugleperspektiv: vi vil se bukter og kapper; La oss nå forestille oss at vi står på stranden og ser på føttene våre: det er alltid småstein som stikker lenger ned i vannet enn resten.

Det vil si at kystlinjen forblir lik seg selv når den zoomes inn. Den amerikanske (men oppvokst i Frankrike) matematikeren Benoit Mandelbrot kalte denne egenskapen til objekter fraktalitet, og slike objekter i seg selv - fraktaler (fra latin fractus - ødelagte).

Hva er en fraktal?

Dette konseptet har ingen streng definisjon. Derfor er ikke ordet "fraktal" et matematisk begrep. Vanligvis er en fraktal en geometrisk figur som tilfredsstiller en eller flere av følgende egenskaper: • Den har en kompleks struktur ved enhver forstørrelse (i motsetning til for eksempel en rett linje, hvor enhver del er den enkleste geometriske figuren - en linjestykke). • Er (omtrent) seg selv. • Har en fraksjonell Hausdorff (fraktal) dimensjon, som er større enn den topologiske. • Kan bygges med rekursive prosedyrer.

Geometri og algebra

Studiet av fraktaler på begynnelsen av 1800- og 1900-tallet var heller episodisk enn systematisk, fordi tidligere matematikere hovedsakelig studerte "gode" objekter som var tilgjengelige for forskning ved bruk av generelle metoder og teorier. I 1872 konstruerte den tyske matematikeren Karl Weierstrass et eksempel på en kontinuerlig funksjon som ikke kan differensieres noe sted. Konstruksjonen var imidlertid helt abstrakt og vanskelig å oppfatte.

Derfor oppfant svensken Helge von Koch i 1904 en kontinuerlig kurve, som ikke har noen tangent noe sted, og den er ganske enkel å tegne. Det viste seg at det har egenskapene til en fraktal. En av variantene av denne kurven kalles "Koch snøfnugg".

Ideene om figurers selvlikhet ble plukket opp av franskmannen Paul Pierre Levy, den fremtidige mentoren til Benoit Mandelbrot. I 1938 publiserte han sin artikkel "Plane and spatial curves and flats, bestående av deler som ligner helheten", som beskriver en annen fraktal - Lévy C-kurven. Alle disse fraktalene ovenfor kan betinget tilskrives en klasse av konstruktive (geometriske) fraktaler.

En annen klasse er dynamiske (algebraiske) fraktaler, som inkluderer Mandelbrot-settet. De første studiene i denne retningen begynte på begynnelsen av 1900-tallet og er knyttet til navnene til de franske matematikerne Gaston Julia og Pierre Fatou. I 1918 ble Julias nesten to hundre sider lange memoarer, viet til iterasjoner av komplekse rasjonelle funksjoner, publisert, der Julias sett ble beskrevet - en hel familie av fraktaler som er nært beslektet med Mandelbrot-settet. Dette verket ble tildelt prisen fra det franske akademiet, men det inneholdt ikke en eneste illustrasjon, så det var umulig å sette pris på skjønnheten til gjenstandene som ble oppdaget.

Til tross for at dette verket forherliget Julia blant datidens matematikere, ble det raskt glemt. Det var ikke før et halvt århundre senere at datamaskiner kom til oppmerksomhet igjen: det var de som gjorde rikdommen og skjønnheten i fraktalverdenen synlig.

Fraktale dimensjoner

Som du vet, er dimensjonen (antall mål) til en geometrisk figur antallet koordinater som kreves for å bestemme posisjonen til et punkt som ligger på denne figuren.

For eksempel bestemmes posisjonen til et punkt på en kurve av én koordinat, på en overflate (ikke nødvendigvis et plan) av to koordinater, i tredimensjonalt rom av tre koordinater.

Fra et mer generelt matematisk synspunkt kan du definere dimensjonen på denne måten: en økning i lineære dimensjoner, si to ganger, for endimensjonale (fra et topologisk synspunkt) objekter (segment) fører til en økning i størrelse (lengde) to ganger, for todimensjonale (kvadratiske) fører den samme økningen i lineære dimensjoner til en økning i størrelse (areal) med 4 ganger, for tredimensjonal (kube) - med 8 ganger. Det vil si at den "virkelige" (såkalte Hausdorff) dimensjonen kan beregnes som forholdet mellom logaritmen for en økning i "størrelsen" til et objekt og logaritmen til en økning i dens lineære størrelse. Det vil si at for segmentet D = log (2) / log (2) = 1, for planet D = log (4) / log (2) = 2, for volumet D = log (8) / log (2)) = 3.

La oss nå beregne dimensjonen til Koch-kurven, for hvis konstruksjon enhetssegmentet er delt inn i tre like deler og midtintervallet erstattes av en likesidet trekant uten dette segmentet. Med en økning i de lineære dimensjonene til minimumssegmentet tre ganger, øker lengden på Koch-kurven i log (4) / log (3) ~ 1, 26. Det vil si at dimensjonen til Koch-kurven er brøkdel!

Vitenskap og kunst

I 1982 utkom Mandelbrots bok «The Fractal Geometry of Nature», der forfatteren samlet og systematiserte nesten all informasjon som var tilgjengelig på den tiden om fraktaler og presenterte den på en enkel og tilgjengelig måte. I sin presentasjon la Mandelbrot hovedvekten ikke på tungvinte formler og matematiske konstruksjoner, men på den geometriske intuisjonen til leserne. Takket være datagenererte illustrasjoner og historiske historier, som forfatteren dyktig utvannet den vitenskapelige komponenten i monografien med, ble boken en bestselger, og fraktaler ble kjent for allmennheten.

Deres suksess blant ikke-matematikere skyldes i stor grad det faktum at ved hjelp av veldig enkle konstruksjoner og formler som en videregående elev kan forstå, oppnås bilder av utrolig kompleksitet og skjønnhet. Da personlige datamaskiner ble kraftige nok, dukket til og med en hel trend innen kunst opp - fraktalmaling, og nesten enhver datamaskineier kunne gjøre det. Nå på Internett kan du enkelt finne mange nettsteder dedikert til dette emnet.

Krig og fred

Som nevnt ovenfor er en av de naturlige gjenstandene med fraktale egenskaper kystlinjen. En interessant historie er knyttet til ham, eller rettere sagt, med et forsøk på å måle lengden, som dannet grunnlaget for Mandelbrots vitenskapelige artikkel, og som også er beskrevet i hans bok "The Fractal Geometry of Nature".

Dette er et eksperiment som ble iscenesatt av Lewis Richardson, en svært talentfull og eksentrisk matematiker, fysiker og meteorolog. En av retningene for forskningen hans var et forsøk på å finne en matematisk beskrivelse av årsakene til og sannsynligheten for en væpnet konflikt mellom de to landene. Blant parameterne han tok i betraktning var lengden på den felles grensen til de to krigførende landene. Da han samlet inn data for numeriske eksperimenter, fant han at i forskjellige kilder er dataene om den felles grensen mellom Spania og Portugal svært forskjellige.

Dette fikk ham til å oppdage følgende: lengden på et lands grenser avhenger av linjalen vi måler dem med. Jo mindre skala, jo lengre er grensen. Dette skyldes at det med en høyere forstørrelse blir mulig å ta hensyn til flere og flere kystsvinger, som tidligere ble ignorert på grunn av grovheten i målingene. Og hvis, med hver skalaøkning, de tidligere uberegnelige bøyningene av linjene åpnes, viser det seg at lengden på grensene er uendelig! Riktignok skjer dette ikke i virkeligheten - nøyaktigheten av målingene våre har en begrenset grense. Dette paradokset kalles Richardson-effekten.

Konstruktive (geometriske) fraktaler

Algoritmen for å konstruere en konstruktiv fraktal i det generelle tilfellet er som følger. Først av alt trenger vi to passende geometriske former, la oss kalle dem en base og et fragment. På den første fasen er grunnlaget for den fremtidige fraktalen avbildet. Deretter erstattes noen av delene med et fragment tatt i passende skala - dette er den første gjentakelsen av konstruksjonen. Deretter endrer den resulterende figuren igjen noen deler til figurer som ligner på et fragment, osv. Hvis vi fortsetter denne prosessen på ubestemt tid, får vi i grensen en fraktal.

La oss vurdere denne prosessen ved å bruke Koch-kurven som et eksempel. Som grunnlag for Koch-kurven kan du ta hvilken som helst kurve (for "Koch-snøfnugget" er det en trekant). Men vi vil begrense oss til det enkleste tilfellet - et segment. Et fragment er en brutt linje vist øverst i figuren. Etter den første iterasjonen av algoritmen, i dette tilfellet, vil det innledende segmentet falle sammen med fragmentet, deretter vil hvert av dets bestanddeler bli erstattet av en brutt linje, som ligner på et fragment, etc. Figuren viser de fire første trinnene i denne prosessen.

På matematikkspråket: dynamiske (algebraiske) fraktaler

Fraktaler av denne typen oppstår i studiet av ikke-lineære dynamiske systemer (derav navnet). Oppførselen til et slikt system kan beskrives ved en kompleks ikke-lineær funksjon (polynom) f (z). Ta et startpunkt z0 på det komplekse planet (se sidefeltet). Vurder nå en slik uendelig rekkefølge av tall på det komplekse planet, som hver av de følgende er hentet fra den forrige: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1), … zn + 1 = f (zn).

Avhengig av startpunktet z0, kan en slik sekvens oppføre seg annerledes: har en tendens til uendelig som n -> ∞; konvergere til et eller annet endepunkt; syklisk ta et antall faste verdier; mer komplekse alternativer er også mulig.

Komplekse tall

Et komplekst tall er et tall som består av to deler - reelle og imaginære, det vil si den formelle summen x + iy (her er x og y reelle tall). jeg er den såkalte. imaginær enhet, det vil si et tall som tilfredsstiller ligningen i ^ 2 = -1. De grunnleggende matematiske operasjonene er definert over komplekse tall - addisjon, multiplikasjon, divisjon, subtraksjon (bare sammenligningsoperasjonen er ikke definert). For å vise komplekse tall brukes ofte en geometrisk representasjon - på planet (det kalles kompleks), den reelle delen legges på abscissen, og den imaginære delen på ordinaten, mens det komplekse tallet vil tilsvare et punkt med kartesisk koordinatene x og y.

Dermed har ethvert punkt z i det komplekse planet sin egen karakter av oppførsel under iterasjoner av funksjonen f (z), og hele planet er delt inn i deler. I dette tilfellet har punktene som ligger på grensene til disse delene følgende egenskap: for en vilkårlig liten forskyvning endres arten av deres oppførsel kraftig (slike punkter kalles bifurkasjonspunkter). Så det viser seg at sett med punkter med en spesifikk type oppførsel, så vel som sett med bifurkasjonspunkter, ofte har fraktale egenskaper. Dette er Julia-settene for funksjonen f (z).

Familie av drager

Ved å variere basen og fragmentet kan du få et utrolig utvalg av konstruktive fraktaler.

Dessuten kan lignende operasjoner utføres i tredimensjonalt rom. Eksempler på volumetriske fraktaler er Mengers svamp, Sierpinski-pyramiden og andre.

Dragefamilien omtales også som konstruktive fraktaler. Noen ganger kalles de med navnet til oppdagerne "drager fra Highway-Harter" (i sin form ligner de kinesiske drager). Det er flere måter å plotte denne kurven på. Den enkleste og mest intuitive av dem er dette: du må ta en tilstrekkelig lang papirstrimmel (jo tynnere papiret er, jo bedre) og brett det i to. Bøy den så to ganger igjen i samme retning som første gang.

Etter flere repetisjoner (vanligvis etter fem eller seks folder, blir stripen for tykk til å bøyes pent videre), må du løsne stripen tilbake og prøve å danne 90˚ vinkler ved foldene. Da vil dragens kurve vise seg i profil. Selvfølgelig vil dette bare være en tilnærming, som alle våre forsøk på å avbilde fraktale objekter. Datamaskinen lar deg skildre mange flere trinn i denne prosessen, og resultatet er en veldig vakker figur.

Mandelbrot-settet er konstruert på en litt annen måte. Tenk på funksjonen fc (z) = z ^ 2 + c, der c er et komplekst tall. La oss konstruere en sekvens av denne funksjonen med z0 = 0, avhengig av parameteren c, kan den divergere til uendelig eller forbli avgrenset. Dessuten danner alle verdiene til c som denne sekvensen er avgrenset for Mandelbrot-settet. Det ble studert i detalj av Mandelbrot selv og andre matematikere, som oppdaget mange interessante egenskaper ved dette settet.

Det er sett at definisjonene av Julia- og Mandelbrot-settene ligner hverandre. Faktisk er disse to settene nært beslektet. Mandelbrot-settet er nemlig alle verdiene til den komplekse parameteren c som Julia-settet fc (z) er koblet til (et sett kalles koblet hvis det ikke kan deles i to usammenhengende deler, med noen tilleggsbetingelser).

Fraktaler og liv

I dag er teorien om fraktaler mye brukt i ulike felt av menneskelig aktivitet. I tillegg til et rent vitenskapelig objekt for forskning og det allerede nevnte fraktale maleriet, brukes fraktaler i informasjonsteori for å komprimere grafiske data (her brukes hovedsakelig selvlikhetsegenskapen til fraktaler - tross alt for å huske et lite fragment av en tegning og transformasjoner som du kan få resten av delene med, mye mindre kreves minne enn for å lagre hele filen).

Ved å legge til tilfeldige forstyrrelser til formlene som definerer fraktalen, kan man oppnå stokastiske fraktaler som meget plausibelt formidler noen virkelige objekter - relieffelementer, overflaten av vannforekomster, noen planter, som med hell brukes i fysikk, geografi og datagrafikk for å oppnå større likhet av simulerte objekter med ekte. I elektronikk produseres det antenner som har en fraktal form. De tar liten plass og gir signalmottak av ganske høy kvalitet.

Økonomer bruker fraktaler for å beskrive valutakurskurver (en egenskap oppdaget av Mandelbrot). Dette avslutter denne lille ekskursjonen inn i den utrolig vakre og mangfoldige verdenen av fraktaler.