Flat, sfærisk eller hyperbolsk form av universet vårt?

2024 Forfatter: Seth Attwood | [email protected]. Sist endret: 2023-12-16 16:13

Etter vårt syn er universet uendelig. I dag vet vi at jorden har form som en kule, men vi tenker sjelden på universets form. I geometri er det mange tredimensjonale former som et alternativ til det "kjente" uendelige rommet. Forfatterne forklarer forskjellen i den mest tilgjengelige formen.

Når man ser på nattehimmelen, ser det ut til at verdensrommet fortsetter for alltid i alle retninger. Det er slik vi forestiller oss universet – men ikke det faktum at det er sant. Tross alt var det en tid da alle trodde at jorden var flat: krumningen av jordens overflate er umerkelig, og ideen om at jorden er rund virket uforståelig.

I dag vet vi at jorden er i form av en kule. Men vi tenker sjelden på universets form. Ettersom sfæren erstattet den flate jorden, tilbyr andre tredimensjonale former alternativer til det "kjente" uendelige rommet.

To spørsmål kan stilles om universets form - separate, men innbyrdes beslektede. Den ene handler om geometri - nitid beregninger av vinkler og arealer. En annen handler om topologi: hvordan separate deler smelter sammen til en enkelt form.

Kosmologiske data tyder på at den synlige delen av universet er jevn og homogen. Den lokale strukturen i rommet ser nesten lik ut på hvert punkt og i alle retninger. Bare tre geometriske former tilsvarer disse egenskapene - flat, sfærisk og hyperbolsk. La oss ta en titt på disse formene etter tur, noen topologiske betraktninger og konklusjoner basert på kosmologiske data.

Flatt univers

Faktisk er dette skolegeometri. Vinklene til en trekant summerer seg til 180 grader, og arealet av en sirkel er πr2. Det enkleste eksemplet på en flat tredimensjonal form er et vanlig uendelig rom, matematikere kaller det euklidisk, men det finnes andre flate alternativer.

Det er ikke lett å forestille seg disse formene, men vi kan koble intuisjonen vår ved å tenke i to dimensjoner i stedet for tre. I tillegg til det vanlige euklidiske planet, kan vi lage andre flate former ved å skjære ut et stykke av planet og lime kantene på det. La oss si at vi kutter ut et rektangulært stykke papir og taper de motsatte kantene av det med tape. Limer du overkanten til underkanten får du en sylinder.

Du kan også lime høyre kant til venstre - da får vi en smultring (matematikere kaller denne formen en torus).

Du vil sannsynligvis innvende: «Noe er ikke veldig flatt». Og du vil ha rett. Vi jukset litt om den flate torusen. Hvis du virkelig prøver å lage en torus av et stykke papir på denne måten, vil du få noen vanskeligheter. Det er lett å lage en sylinder, men det vil ikke fungere å lime endene: papiret vil krølle seg langs den indre sirkelen av torusen, men det vil ikke være nok for den ytre sirkelen. Så du må ta et slags elastisk materiale. Men strekking endrer lengden og vinklene, og derfor hele geometrien.

Det er umulig å konstruere en ekte glatt fysisk torus fra et flatt materiale inne i et vanlig tredimensjonalt rom uten å forvrenge geometrien. Det gjenstår å spekulere abstrakt om hvordan det er å leve inne i en flat torus.

Se for deg at du er et todimensjonalt vesen hvis univers er en flat torus. Siden formen på dette universet er basert på et flatt ark, forblir alle de geometriske fakta vi er vant til å være de samme - i det minste i begrenset skala: vinklene til en trekant summerer seg til 180 grader, og så videre. Men med endringen i global topologi gjennom trimming og liming, vil livet endre seg dramatisk.

Til å begynne med har torusen rette linjer som går i løkker og går tilbake til utgangspunktet.

På en forvrengt torus ser de buede ut, men for innbyggerne i en flat torus virker de rette. Og siden lyset beveger seg i en rett linje, så hvis du ser direkte i en hvilken som helst retning, vil du se deg selv bakfra.

Det er som om lyset på det originale papiret passerte gjennom deg, gikk til venstre kant og så dukket opp igjen til høyre, som i et videospill.

Her er en annen måte å tenke på: du (eller en lysstråle) krysser en av de fire kantene og befinner deg i et nytt rom, men faktisk er det samme rom, bare fra et annet synspunkt. Når du vandrer gjennom et slikt univers, vil du komme over et uendelig antall kopier av det originale rommet.

Dette betyr at du vil ta et uendelig antall kopier av deg selv uansett hvor du ser. Dette er en slags speileffekt, bare disse kopiene er ikke akkurat refleksjoner.

På torusen tilsvarer hver av dem en eller annen løkke, langs hvilken lyset går tilbake til deg.

På samme måte får vi en flat tredimensjonal torus ved å lime de motsatte sidene av en kube eller annen boks. Vi vil ikke være i stand til å skildre dette rommet inne i et vanlig uendelig rom - det vil rett og slett ikke passe - men vi vil være i stand til å abstrakt spekulere om livet inne i det.

Hvis livet i en todimensjonal torus er som en endeløs todimensjonal rekke av identiske rektangulære rom, så er livet i en tredimensjonal torus som en endeløs tredimensjonal rekke identiske kubiske rom. Du vil også se et uendelig antall kopier av dine egne.

Den tredimensjonale torusen er bare en av ti varianter av den endelige flate verdenen. Det er også uendelige flate verdener - for eksempel en tredimensjonal analog av en uendelig sylinder. Hver av disse verdenene vil ha sitt eget "latterrom" med "refleksjoner".

Kan universet vårt være en av de flate formene?

Når vi ser ut i verdensrommet, ser vi ikke et uendelig antall av våre egne kopier. Uansett er det ikke lett å eliminere flate former. For det første har de alle samme lokale geometri som det euklidiske rom, så det vil ikke være mulig å skille dem med lokale målinger.

La oss si at du til og med så din egen kopi, dette fjerne bildet viser bare hvordan du (eller galaksen din som helhet) så ut i den fjerne fortiden, siden lyset har kommet langt før det nådde deg. Kanskje ser vi til og med våre egne kopier – men forandret til det ugjenkjennelige. Dessuten er forskjellige kopier i ulik avstand fra deg, så de er ikke like. Og dessuten så langt unna at vi fortsatt ikke ser noe.

For å omgå disse vanskelighetene, ser astronomer vanligvis ikke etter kopier av seg selv, men etter gjentakende funksjoner i det fjerneste synlige fenomenet - den kosmiske mikrobølgebakgrunnsstrålingen, dette er en relikvie fra Big Bang. I praksis betyr dette å lete etter par med sirkler med matchende mønstre av varme og kalde flekker - det antas at de er like, bare fra forskjellige sider.

Astronomer utførte nettopp et slikt søk i 2015 takket være Planck Space Telescope. De satte sammen data om typene sammenfallende sirkler som vi forventer å se inne i en flat 3D-torus eller annen flat 3D-form – en såkalt plate – men de fant ingenting. Dette betyr at hvis vi lever i en torus, så ser den ut til å være så stor at eventuelle repeterende fragmenter ligger utenfor det observerbare universet.

Sfærisk form

Vi er veldig kjent med todimensjonale kuler - dette er overflaten til en ball, en appelsin eller jorden. Men hva om universet vårt er en tredimensjonal sfære?

Å tegne en tredimensjonal kule er vanskelig, men det er lett å beskrive det med en enkel analogi. Hvis en todimensjonal sfære er en samling av alle punkter i en fast avstand fra et sentralt punkt i et vanlig tredimensjonalt rom, er en tredimensjonal sfære (eller "trisfære") en samling av alle punkter i en fast avstand fra noen sentralt punkt i firedimensjonalt rom.

Livet inne i en trisfære er veldig forskjellig fra livet i flatt rom. For å visualisere det, forestill deg at du er et todimensjonalt vesen i en todimensjonal sfære. Den todimensjonale sfæren er hele universet, derfor kan du ikke se det tredimensjonale rommet som omgir deg og kan ikke komme inn i det. I dette sfæriske universet reiser lyset den korteste veien: i store sirkler. Men disse sirklene virker rett for deg.

Forestill deg nå at du og 2D-kompisen din henger på Nordpolen, og at han gikk en tur. Når du beveger deg bort, vil det først gradvis avta i den visuelle sirkelen din - som i den vanlige verden, om enn ikke så raskt som vi er vant til. Dette er fordi når den visuelle sirkelen din vokser, tar vennen din opp mindre og mindre av den.

Men så snart vennen din krysser ekvator, skjer det noe merkelig: han begynner å øke i størrelse, selv om han faktisk fortsetter å bevege seg bort. Dette er fordi prosentandelen de opptar i den visuelle sirkelen din øker.

Tre meter fra Sydpolen vil vennen din se ut som om han står tre meter fra deg.

Etter å ha nådd Sydpolen, vil den fylle hele den synlige horisonten din.

Og når det ikke er noen på Sydpolen, vil din visuelle horisont være enda merkeligere – det er deg. Dette er fordi lyset du sender ut vil spre seg over hele sfæren til det kommer tilbake.

Dette påvirker direkte livet i 3D-riket. Hvert punkt i trisfæren har en motsetning, og hvis det er et objekt der, vil vi se det på hele himmelen. Hvis det ikke er noe der, vil vi se oss selv i bakgrunnen - som om utseendet vårt ble lagt på en ballong, deretter vendt inn og opp og blåst opp til hele horisonten.

Men selv om trisfæren er den grunnleggende modellen for sfærisk geometri, er den langt fra det eneste mulige rommet. Ettersom vi bygde forskjellige flate modeller ved å kutte og lime deler av det euklidiske rom, kan vi bygge sfæriske modeller ved å lime passende biter av trisfære. Hver av disse limte formene vil i likhet med torusen ha effekten av et "latterrom", bare antallet rom i sfæriske former vil være begrenset.

Hva om universet vårt er sfærisk?

Selv de mest narsissistiske av oss ser ikke på oss selv som bakgrunnen i stedet for nattehimmelen. Men, som i tilfellet med en flat torus, betyr det at vi ikke ser noe i det hele tatt at det ikke eksisterer. Grensene til et sfærisk univers kan være større enn grensene for den synlige verden, og bakgrunnen er rett og slett ikke synlig.

Men i motsetning til en torus, kan et sfærisk univers oppdages ved hjelp av lokale målinger. Sfæriske former skiller seg fra uendelig euklidisk rom, ikke bare i global topologi, men også i liten geometri. For eksempel, siden rette linjer i sfærisk geometri er store sirkler, er trekantene der "plumpe" enn de euklidiske, og summen av vinklene deres overstiger 180 grader.

I utgangspunktet er måling av kosmiske trekanter den viktigste måten å sjekke hvor buet universet er. For hvert varmt eller kaldt sted på den kosmiske mikrobølgebakgrunnen er dens diameter og avstand fra jorden, som danner de tre sidene av trekanten, kjent. Vi kan måle vinkelen som dannes av flekken på nattehimmelen - og dette vil være et av trekantens hjørner. Vi kan da sjekke om kombinasjonen av sidelengdene og summen av vinklene tilsvarer plan, sfærisk eller hyperbolsk geometri (der summen av vinklene til trekanten er mindre enn 180 grader).

De fleste av disse beregningene, sammen med andre målinger av krumning, antar at universet enten er helt flatt eller veldig nær det. Et forskerteam antydet nylig at noen av 2018-dataene fra Planck-romteleskopet taler mer til fordel for et sfærisk univers, selv om andre forskere hevdet at bevisene som ble presentert kan tilskrives statistiske feil.

Hyperbolsk geometri

I motsetning til en kule, som lukker seg om seg selv, åpner hyperbolsk geometri eller rom med negativ krumning seg utover. Dette er geometrien til den bredbremmede hatten, korallrevet og salen. Den grunnleggende modellen for hyperbolsk geometri er uendelig plass, akkurat som flat euklidisk. Men siden en hyperbolsk form ekspanderer utover mye raskere enn en flat, er det ingen måte å passe selv et todimensjonalt hyperbolsk plan inne i det vanlige euklidiske rom, hvis vi ikke ønsker å forvrenge dets geometri. Men det er et forvrengt bilde av det hyperbolske planet kjent som Poincaré-skiven.

Fra vårt synspunkt ser trekantene nær grensesirkelen ut til å være mye mindre enn de nær sentrum, men fra hyperbolsk geometris synspunkt er alle trekanter like. Hvis vi prøvde å fremstille disse trekantene egentlig i samme størrelse - kanskje ved å bruke elastisk materiale og blåse opp hver trekant etter tur, beveger seg fra midten og utover - ville disken vår lignet en bredbremmet hatt og ville bøyd mer og mer. Og når du kommer nærmere grensen, ville denne krumningen komme ut av kontroll.

I vanlig euklidisk geometri er omkretsen av en sirkel direkte proporsjonal med dens radius, men i hyperbolsk geometri vokser sirkelen eksponentielt i forhold til radien. En haug med trekanter dannes nær grensen til den hyperbolske disken

På grunn av denne funksjonen liker matematikere å si at det er lett å gå seg vill i hyperbolsk rom. Hvis vennen din beveger seg bort fra deg i normalt euklidisk rom, vil han begynne å bevege seg bort, men ganske sakte, fordi synssirkelen din ikke vokser så raskt. I hyperbolsk rom utvides den visuelle sirkelen din eksponentielt, så vennen din vil snart krympe til en uendelig liten flekk. Så hvis du ikke har fulgt ruten hans, er det lite sannsynlig at du finner ham senere.

Selv i hyperbolsk geometri er summen av vinklene til en trekant mindre enn 180 grader - for eksempel er summen av vinklene til noen trekanter fra Poincaré-skivemosaikken bare 165 grader.

Sidene deres ser ut til å være indirekte, men det er fordi vi ser på hyperbolsk geometri gjennom en forvrengende linse. For en innbygger på Poincaré-skiven er disse kurvene faktisk rette linjer, så den raskeste måten å komme seg fra punkt A til punkt B (begge ved kanten) er gjennom et snitt til midten.

Det er en naturlig måte å lage en tredimensjonal analog av Poincaré-skiven - ta en tredimensjonal ball og fyll den med tredimensjonale former, som gradvis avtar når de nærmer seg grensekulen, som trekanter på en Poincaré-skive. Og, som med fly og kuler, kan vi lage en hel rekke andre tredimensjonale hyperbolske rom ved å kutte ut passende biter av en tredimensjonal hyperbolsk ball og lime dens flater.

Vel, er universet vårt hyperbolsk?

Hyperbolsk geometri, med sine smale trekanter og eksponentielt voksende sirkler, er ikke i det hele tatt som rommet rundt oss. Faktisk, som vi allerede har bemerket, lener de fleste av de kosmologiske målingene seg mot et flatt univers.

Men vi kan ikke utelukke at vi lever i en sfærisk eller hyperbolsk verden, fordi små fragmenter av begge verdener ser nesten flate ut. For eksempel er summen av vinklene til små trekanter i sfærisk geometri bare litt mer enn 180 grader, og i hyperbolsk geometri er den bare litt mindre.

Det er derfor de gamle trodde at jorden var flat - jordens krumning er ikke synlig for det blotte øye. Jo større sfærisk eller hyperbolsk form, desto flatere er hver av delene, derfor, hvis universet vårt har en ekstremt stor sfærisk eller hyperbolsk form, er den synlige delen så nær flat at krumningen bare kan oppdages med ultrapresise instrumenter, og vi har ennå ikke oppfunnet dem….